Álgebra Exemplos

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{5}$ .

$2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x^{4}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $2$ de $- 6 x^{3}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1.1.4

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8 x + 8 = 0$

Etapa 1.1.5

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8 = 0$

Etapa 1.1.6

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Etapa 1.1.7

Fatore $2$ de $2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ .

$2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Etapa 1.1.8

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Etapa 1.1.9

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Etapa 1.1.10

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4) = 0$

Etapa 1.1.11

Fatore $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Etapa 1.2

Reagrupe os termos.

$2 (x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$2 (x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.3.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.3.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (x (u^{2} - 3 u - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.6

Fatore $u^{2} - 3 u - 4$ usando o método AC.

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Etapa 1.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 1.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 (x ((u - 4) (u + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.8

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.9

Fatore.

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Etapa 1.9.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.9.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.10

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.11

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Etapa 1.12

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.12.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 1.12.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Etapa 1.12.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Etapa 1.12.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Etapa 1.12.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.12.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Etapa 1.12.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Etapa 1.12.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u - 1$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- u - 1) (u - 4)) = 0$

Etapa 1.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Etapa 1.14

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Etapa 1.15

Fatore.

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Etapa 1.15.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Etapa 1.15.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.16

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 1.16.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.16.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.16.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.18.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.18.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.18.2

Some $1$ e $2$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - x^{2} - 1)) = 0$

Etapa 1.20

Reordene os termos.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + x - 1)) = 0$

Etapa 1.21

Fatore.

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Etapa 1.21.1

Fatore.

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Etapa 1.21.1.1

Reescreva $x^{3} - x^{2} + x - 1$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.21.1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.21.1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + x - 1)) = 0$

Etapa 1.21.1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1))) = 0$

Etapa 1.21.1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 1))) = 0$

Etapa 1.21.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1)) = 0$

Etapa 1.21.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 6.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2, 1, i, - i$

Etapa 8