Álgebra Exemplos

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $6 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

Etapa 1.2

Some $12 x$ aos dois lados da equação.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Fatore $x$ de $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x$ de $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x$ de $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore $x$ de $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.2.1.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.1.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Etapa 2.2.1.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Etapa 2.2.1.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

Etapa 2.2.1.3.4

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

Etapa 2.2.1.3.5

Subtraia $16$ de $- 8$ .

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

Etapa 2.2.1.3.6

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$- 24 + 12 + 12$

Etapa 2.2.1.3.7

Some $- 24$ e $12$ .

$- 12 + 12$

Etapa 2.2.1.3.8

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 2.2.1.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

Etapa 2.2.1.5

Divida $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ por $x + 2$ .

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Etapa 2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

Etapa 2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Etapa 2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x + 12$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Etapa 2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 6 x + 6$

Etapa 2.2.1.6

Escreva $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Etapa 4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Defina $x^{2} - 6 x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x^{2} - 6 x + 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 6$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Forma decimal:

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

Etapa 9