Álgebra Exemplos

$\frac{x + 4}{x + 9} < 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x + 4}{x + 9} - 2 < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 4}{x + 9} - 2$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{x + 4}{x + 9} - 2 \cdot \frac{x + 9}{x + 9} < 0$

Etapa 2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{x + 4}{x + 9} + \frac{- 2 (x + 9)}{x + 9} < 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + 4 - 2 (x + 9)}{x + 9} < 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 4 - 2 x - 2 \cdot 9}{x + 9} < 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\frac{x + 4 - 2 x - 18}{x + 9} < 0$

Etapa 2.4.3

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 4 - 18}{x + 9} < 0$

Etapa 2.4.4

Subtraia $18$ de $4$ .

$\frac{- x - 14}{x + 9} < 0$

Etapa 2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) - 14}{x + 9} < 0$

Etapa 2.6

Reescreva $- 14$ como $- 1 (14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (14)}{x + 9} < 0$

Etapa 2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (14)$ .

$\frac{- (x + 14)}{x + 9} < 0$

Etapa 2.8

Reescreva $- (x + 14)$ como $- 1 (x + 14)$ .

$\frac{- 1 (x + 14)}{x + 9} < 0$

Etapa 2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x + 14}{x + 9} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 14 = 0$

$x + 9 = 0$

Etapa 4

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$x = - 14$

Etapa 5

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 14$

$x = - 9$

Etapa 7

Consolide as soluções.

$x = - 14, - 9$

Etapa 8

Encontre o domínio de $- \frac{x + 14}{x + 9}$ .

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Etapa 8.1

Defina o denominador em $\frac{x + 14}{x + 9}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 9 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 14$

$- 14 < x < - 9$

$x > - 9$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 14$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 14$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 16$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $- 16$ na desigualdade original.

$\frac{(- 16) + 4}{(- 16) + 9} < 2$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $1.\overline{714285}$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $- 14 < x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 14 < x < - 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 12$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $- 12$ na desigualdade original.

$\frac{(- 12) + 4}{(- 12) + 9} < 2$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $2.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Teste um valor no intervalo $x > - 9$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 9$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 10.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 4}{(0) + 9} < 2$

Etapa 10.3.3

O lado esquerdo $0.\overline{4}$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 14$ Verdadeiro

$- 14 < x < - 9$ Falso

$x > - 9$ Verdadeiro

$x < - 14$ Verdadeiro

$- 14 < x < - 9$ Falso

$x > - 9$ Verdadeiro

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 14$ ou $x > - 9$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 14) \cup (- 9, \infty)$

Etapa 13