Álgebra Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 2 x - 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 2 x - 11$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = 6$ , $b = 2$ e $c = - 11$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.3

Some $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $268$ como $2^{2} \cdot 67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $4$ de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.3

Some $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $268$ como $2^{2} \cdot 67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $4$ de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.5.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

Etapa 5.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Etapa 5.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.3

Some $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $268$ como $2^{2} \cdot 67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.6.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.6.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

Etapa 5.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Etapa 5.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 9.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ para o numerador.

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $6$ de $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$0 + 2 \sqrt{67}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $2 \sqrt{67}$ .

$2 \sqrt{67}$

Etapa 10

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ para o numerador.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.4.2

Fatore $2$ de $216$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.5

Use o teorema binomial.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.6.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.8

Multiplique ${\sqrt{67}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9

Reescreva ${\sqrt{67}}^{2}$ como $67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{67}$ como $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.9.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.9.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.10

Multiplique $3$ por $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.11

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.13

Reescreva ${\sqrt{67}}^{3}$ como $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.14

Eleve $67$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.15

Reescreva $300763$ como $67^{2} \cdot 67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.6.15.1

Fatore $4489$ de $300763$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.15.2

Reescreva $4489$ como $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.6.17

Multiplique $67$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.7

Some $1$ e $201$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.8

Subtraia $67 \sqrt{67}$ de $- 3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.9

Cancele o fator comum de $202 - 70 \sqrt{67}$ e $108$ .

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Etapa 11.2.1.9.1

Fatore $2$ de $- (202 - 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.9.2.1

Fatore $2$ de $108$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.11

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 11.2.1.11.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.13

Multiplique $\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.14

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.15

Reescreva ${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ como $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.16

Expanda $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.17.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.2

Multiplique $- \sqrt{67}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4

Multiplique $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.17.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4.2

Multiplique $\sqrt{67}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4.3

Eleve $\sqrt{67}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4.4

Eleve $\sqrt{67}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5

Reescreva ${\sqrt{67}}^{2}$ como $67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.17.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{67}$ como $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.17.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.2

Some $1$ e $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.17.3

Subtraia $\sqrt{67}$ de $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18

Cancele o fator comum de $68 - 2 \sqrt{67}$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.18.1

Fatore $2$ de $68$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18.2

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18.3

Fatore $2$ de $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.18.4.1

Fatore $2$ de $36$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.18.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.19

Multiplique $- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.19.1

Multiplique $- 1$ por $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Etapa 11.2.1.19.2

Combine $11$ e $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Etapa 11.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 11.2.2.5

Reordene os fatores de $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 11.2.2.6

Multiplique $3$ por $18$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $6$ por $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $101$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $- 35$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.5

Multiplique $34$ por $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.8

Multiplique $11$ por $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.9

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.10

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.11

Multiplique $11$ por $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Etapa 11.2.4.12

Multiplique $9$ por $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 11.2.5

Simplifique somando os termos.

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Etapa 11.2.5.1

Some $- 101$ e $102$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 11.2.5.2

Some $1$ e $99$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 11.2.5.3

Subtraia $3 \sqrt{67}$ de $35 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 11.2.5.4

Subtraia $99 \sqrt{67}$ de $32 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 11.2.6

A resposta final é $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 13.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ para o numerador.

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 13.1.1.2

Fatore $6$ de $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 13.1.1.3

Cancele o fator comum.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Etapa 13.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

Etapa 13.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 13.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$0 - 2 \sqrt{67}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $2 \sqrt{67}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{67}$

Etapa 14

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ para o numerador.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.4.2

Fatore $2$ de $216$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.5

Use o teorema binomial.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.6.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5

Reescreva ${\sqrt{67}}^{2}$ como $67$ .

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Etapa 15.2.1.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{67}$ como $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.6.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.6

Multiplique $3$ por $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.7

Reescreva ${\sqrt{67}}^{3}$ como $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.8

Eleve $67$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.9

Reescreva $300763$ como $67^{2} \cdot 67$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.9.1

Fatore $4489$ de $300763$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.9.2

Reescreva $4489$ como $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.6.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.7

Some $1$ e $201$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.8

Some $3 \sqrt{67}$ e $67 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.9

Cancele o fator comum de $202 + 70 \sqrt{67}$ e $108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.1

Fatore $2$ de $- (202 + 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.9.2.1

Fatore $2$ de $108$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.11

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.11.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.13

Multiplique $\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.14

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.15

Reescreva ${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.16

Expanda $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.16.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.2.1.17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.17.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.2

Multiplique $\sqrt{67}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.3

Multiplique $\sqrt{67}$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.5

Multiplique $67$ por $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.6

Reescreva $4489$ como $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.2

Some $1$ e $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.17.3

Some $\sqrt{67}$ e $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18

Cancele o fator comum de $68 + 2 \sqrt{67}$ e $36$ .

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Etapa 15.2.1.18.1

Fatore $2$ de $68$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.2.1.18.4.1

Fatore $2$ de $36$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.18.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.19

Multiplique $- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ .

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Etapa 15.2.1.19.1

Multiplique $- 1$ por $- 11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Etapa 15.2.1.19.2

Combine $11$ e $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Etapa 15.2.2.3

Multiplique $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 15.2.2.5

Reordene os fatores de $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 15.2.2.6

Multiplique $3$ por $18$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $6$ por $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $101$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $35$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.5

Multiplique $34$ por $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.8

Multiplique $11$ por $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.9

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.10

Multiplique $11$ por $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Etapa 15.2.4.11

Multiplique $9$ por $11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 15.2.5

Simplifique somando os termos.

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Etapa 15.2.5.1

Some $- 101$ e $102$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 15.2.5.2

Some $1$ e $99$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 15.2.5.3

Some $- 35 \sqrt{67}$ e $3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 15.2.5.4

Some $- 32 \sqrt{67}$ e $99 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ .

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ é um mínimo local

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ é um máximo local

Etapa 17