Álgebra Exemplos

$2 - x \leq \frac{5 x + 6}{x + 3}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{5 x + 6}{x + 3}$ dos dois lados da desigualdade.

$2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $2 - x - \frac{5 x + 6}{x + 3}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x + \frac{2 (x + 3)}{x + 3} - \frac{5 x + 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- x + \frac{2 (x + 3) - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + \frac{2 x + 2 \cdot 3 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + \frac{2 x + 6 - (5 x) - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 1 \cdot 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- x + \frac{2 x + 6 - 5 x - 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.6

Subtraia $5 x$ de $2 x$ .

$- x + \frac{- 3 x + 6 - 6}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.7

Subtraia $6$ de $6$ .

$- x + \frac{- 3 x + 0}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.1.8

Some $- 3 x$ e $0$ .

$- x + \frac{- 3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- x - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.4

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$- x \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.5

Combine $- x$ e $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{- x (x + 3)}{x + 3} - \frac{3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x (x + 3) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Fatore $x$ de $- x (x + 3) - 3 x$ .

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Etapa 2.7.1.1

Fatore $x$ de $- x (x + 3)$ .

$\frac{x (- (x + 3)) - 3 x}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.1.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (- (x + 3)) + x \cdot - 3}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.1.3

Fatore $x$ de $x (- (x + 3)) + x \cdot - 3$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 3)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.2

Fatore $- 1$ de $- (x + 3) - 3$ .

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Etapa 2.7.2.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3) - 1 (3))}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $- 1$ de $- (x + 3) - 1 (3)$ .

$\frac{x (- (x + 3 + 3))}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{x \cdot - 1 (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.7.4

Fatore o negativo.

$\frac{- x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x + 6)}{x + 3} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$- x = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Etapa 5

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 6$

$x = - 3$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, - 6, - 3$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x (x + 6)}{x + 3}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x (x + 6)}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$2 - (- 8) \leq \frac{5 (- 8) + 6}{(- 8) + 3}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $10$ é maior do que o lado direito $6.8$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$2 - (- 4) \leq \frac{5 (- 4) + 6}{(- 4) + 3}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $6$ é menor do que o lado direito $14$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$2 - (- 2) \leq \frac{5 (- 2) + 6}{(- 2) + 3}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$2 - (2) \leq \frac{5 (2) + 6}{(2) + 3}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $3.2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 6 \leq x < - 3$ ou $x \geq 0$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 6, - 3) \cup [0, \infty)$

Etapa 14