Álgebra Exemplos

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x - 5}{x - 3}$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x - 1}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{x - 5}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x - 5}{x - 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Expanda $(x - 1) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.5

Expanda $(- x + 5) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.6.1.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.6.2

Some $- 2 x$ e $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.7

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.8

Some $- 4 x$ e $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.9

Some $- 4 x$ e $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.5.10

Some $3$ e $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.7

Reescreva $13$ como $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.9

Reescreva $- (x - 13)$ como $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 4

Some $13$ aos dois lados da equação.

$x = 13$

Etapa 5

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 13, - 2, 3$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

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Etapa 9.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 9.2.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 9.2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.3.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 9.2.3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 9.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 3$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $2.5$ é maior do que o lado direito $1.\overline{285714}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 0.5$ não é maior do que o lado direito $1.\overline{6}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 8$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $8$ na desigualdade original.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0.7$ é maior do que o lado direito $0.6$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 16$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $16$ na desigualdade original.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $0.8\overline{3}$ não é maior do que o lado direito $0.\overline{846153}$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

$x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 2$ ou $3 < x < 13$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Etapa 14