Álgebra Exemplos

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

Etapa 1

Subtraia $\frac{8}{2 + x}$ dos dois lados da desigualdade.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2

Simplifique $x - \frac{8}{2 + x}$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.3.4

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

Etapa 2.3.5

Fatore $x^{2} + 2 x - 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 2.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 2, - 4, - 2$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 + x = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 6$ é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 3$ é maior do que o lado direito $- 8$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $1.\overline{3}$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x < - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

Etapa 14