Álgebra Exemplos

$f (x) = \ln (3 x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \ln (3 x)$ como uma equação.

$y = \ln (3 x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \ln (3 y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\ln (3 y) = x$ .

$\ln (3 y) = x$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (3 y) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $3 y = e^{x}$ .

$3 y = e^{x}$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $3 y = e^{x}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $3 y = e^{x}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ é o inverso de $f (x) = \ln (3 x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (3 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Etapa 5.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{e^{x}}{3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x}}{3}))$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \ln (e)$

Etapa 5.3.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x \cdot 1$

Etapa 5.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$ é o inverso de $f (x) = \ln (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3}$