Álgebra Exemplos

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Etapa 1.2

Some $5$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.2

Combine $- x$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.1

Mova $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.4

Some $7 x$ e $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.4.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ e cuja soma é $b = 9$ .

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Etapa 2.4.6.1.1

Fatore $9$ de $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6.1.2

Reescreva $9$ como $- 1$ mais $10$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.4.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.4.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Etapa 2.5

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Expanda $(- x - 1) (x - 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.7.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.2.2

Subtraia $x$ de $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.5

Some $9 x$ e $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.6

Subtraia $10$ de $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.7

Some $- x^{2} + 14 x$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.8

Fatore $x$ de $- x^{2} + 14 x$ .

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Etapa 2.7.8.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.8.2

Fatore $x$ de $14 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.7.8.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot 14$ .

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.9

Reescreva $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- (x - 14)$ como $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Etapa 5

Some $14$ aos dois lados da equação.

$x = 14$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 14, 2$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 9.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $- 7$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 17$ é menor do que o lado direito $- 4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 14$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 14$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $19$ é maior do que o lado direito $- 1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 14$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 14$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 16$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $16$ na desigualdade original.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $8.\overline{714285}$ é menor do que o lado direito $11$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Verdadeiro

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x < 2$ ou $x \geq 14$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Etapa 14