Álgebra Exemplos

$\frac{5 x + 7}{x - 1} < - 2$

Etapa 1

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2 < 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Etapa 2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 x + 7 + 2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Etapa 2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x + 7 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} < 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x + 7 + 2 x - 2}{x - 1} < 0$

Etapa 2.3.3

Some $5 x$ e $2 x$ .

$\frac{7 x + 7 - 2}{x - 1} < 0$

Etapa 2.3.4

Subtraia $2$ de $7$ .

$\frac{7 x + 5}{x - 1} < 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$7 x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$7 x = - 5$

Etapa 5

Divida cada termo em $7 x = - 5$ por $7$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $7 x = - 5$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{7}$

Etapa 6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{5}{7}$

$x = 1$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{5}{7}, 1$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 1 = 0$

Etapa 9.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{7}$

$- \frac{5}{7} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{7}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$\frac{5 (- 3) + 7}{(- 3) - 1} < - 2$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $2$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{7} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{7} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{5 (0) + 7}{(0) - 1} < - 2$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 7$ é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{5 (4) + 7}{(4) - 1} < - 2$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $9$ não é menor do que o lado direito $- 2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{7}$ Falso

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{5}{7}$ Falso

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{5}{7} < x < 1$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \frac{5}{7}, 1)$

Etapa 14