Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Etapa 2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$7^{y - 1} = 3 x$

Etapa 2.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Etapa 2.5

Expanda $\ln (7^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Etapa 2.6

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique $(y - 1) \ln (7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Etapa 2.6.1.2

Reescreva $- 1 \ln (7)$ como $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Etapa 2.7

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Etapa 2.8

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Some $\ln (7)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Etapa 2.8.2

Some $\ln (3 x)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Etapa 2.9

Divida cada termo em $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ por $\ln (7)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Divida cada termo em $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ por $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 2.9.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 2.9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 2.9.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $7^{x - 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3.2

Expanda $\ln (7^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3.3

Cancele o fator comum de $\ln (7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Etapa 4.2.3.3.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Etapa 4.3.3.2

Some $0$ e $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Etapa 4.3.4

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Etapa 4.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Etapa 4.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Etapa 4.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Etapa 4.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$