Álgebra Exemplos

$\frac{3 x + 4}{x - 4} \leq x - 1$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \leq - 1$

Etapa 1.2

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1 \leq 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{3 x + 4}{x - 4} - x + 1$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $- x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} - x \cdot \frac{x - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.2

Combine $- x$ e $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{3 x + 4}{x - 4} + \frac{- x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x + 4 - x (x - 4)}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} - x \cdot - 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 4 - x^{2} + 4 x}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4.4

Some $3 x$ e $4 x$ .

$\frac{7 x + 4 - x^{2}}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.4.5

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + 1 \leq 0$

Etapa 2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} + 7 x + 4 + x - 4}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.1

Some $7 x$ e $x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 4 - 4}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x + 0}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7.3

Some $- x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7.4

Fatore $x$ de $- x^{2} + 8 x$ .

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Etapa 2.7.4.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 8 x}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7.4.2

Fatore $x$ de $8 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 8}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.7.4.3

Fatore $x$ de $x (- x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x + 8)}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.8

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 8)}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.9

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 8))}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- (x - 8)$ como $- 1 (x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 8))}{x - 4} \leq 0$

Etapa 2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x - 8)}{x - 4} \leq 0$

Etapa 3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$- x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Etapa 5

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 6

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = 8$

$x = 4$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = 0, 8, 4$

Etapa 9

Encontre o domínio de $- \frac{x (x - 8)}{x - 4}$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{x (x - 8)}{x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 4 = 0$

Etapa 9.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 8$

$x > 8$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (- 2) + 4}{(- 2) - 4} \leq (- 2) - 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $0.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $- 3$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{3 (2) + 4}{(2) - 4} \leq (2) - 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $4 < x < 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{3 (6) + 4}{(6) - 4} \leq (6) - 1$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $11$ é maior do que o lado direito $5$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 8$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{3 (10) + 4}{(10) - 4} \leq (10) - 1$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $5.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $9$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadeiro

$4 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x < 4$ ou $x \geq 8$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[0, 4) \cup [8, \infty)$

Etapa 14