Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$

Etapa 1

Defina $x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$ como igual a $0$ .

$x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$5 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $5 x^{2}$ de $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $5 x^{2}$ de $5 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x) + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $5 x^{2}$ de $5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2)$ .

$5 x^{2} (x + 2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $x^{4} + 20 x + 24$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 2.1.3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Etapa 2.1.3.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

${(- 2)}^{4} + 20 \cdot - 2 + 24$

Etapa 2.1.3.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$16 + 20 \cdot - 2 + 24$

Etapa 2.1.3.3.3

Multiplique $20$ por $- 2$ .

$16 - 40 + 24$

Etapa 2.1.3.3.4

Subtraia $40$ de $16$ .

$- 24 + 24$

Etapa 2.1.3.3.5

Some $- 24$ e $24$ .

$0$

Etapa 2.1.3.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 20 x + 24}{x + 2}$

Etapa 2.1.3.5

Divida $x^{4} + 20 x + 24$ por $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 2.1.3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 2.1.3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Etapa 2.1.3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 2.1.3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 2.1.3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 2.1.3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 2.1.3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 2.1.3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Etapa 2.1.3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Etapa 2.1.3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Etapa 2.1.3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} + 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Etapa 2.1.3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Etapa 2.1.3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x + 24$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Etapa 2.1.3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

$0$

Etapa 2.1.3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12$

Etapa 2.1.3.6

Escreva $x^{4} + 20 x + 24$ como um conjunto de fatores.

$5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $x + 2$ de $5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $x + 2$ de $5 x^{2} (x + 2)$ .

$(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Etapa 2.1.4.2

Fatore $x + 2$ de $(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

$(x + 2) (5 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Etapa 2.1.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Reescreva $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 4 x + 12) = 0$

Etapa 2.1.6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x^{2} (x + 3) + 4 (x + 3)) = 0$

Etapa 2.1.6.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 2.5.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 2.5.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 2.5.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.5.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 2.5.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 3, 2 i, - 2 i$

Etapa 3