Álgebra Exemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reagrupe os termos.

$- 2 x^{3} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 18 x$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 2 x$ de $- 18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 9 + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 1.2.3

Fatore $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (9)$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Etapa 1.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Etapa 1.5

Fatore $u^{2} + 14 u + 45$ usando o método AC.

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Etapa 1.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $45$ e cuja soma é $14$ .

$5, 9$

Etapa 1.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 2 x (x^{2} + 9) + (u + 5) (u + 9) = 0$

Etapa 1.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.7

Fatore $x^{2} + 9$ de $- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

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Etapa 1.7.1

Fatore $x^{2} + 9$ de $- 2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.7.2

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 1.7.3

Fatore $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x + x^{2} + 5) = 0$

Etapa 1.8

Reordene os termos.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Etapa 3

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 3.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 3.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 4

Defina $x^{2} - 2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x^{2} - 2 x + 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Etapa 4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.3

Subtraia $20$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.4

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.7

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.1.9

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Etapa 4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3 i, - 3 i, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Etapa 6