Álgebra Exemplos

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $3 e^{- 4 y + 1} = x$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $3 e^{- 4 y + 1} = x$ por $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $e^{- 4 y + 1}$ por $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Etapa 2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 2.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Expanda $\ln (e^{- 4 y + 1})$ movendo $- 4 y + 1$ para fora do logaritmo.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 4 y + 1$ por $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 2.5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Etapa 2.6

Divida cada termo em $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Divida cada termo em $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 2.6.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.1.2

Divida $e^{- 4 x + 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.2

Use as regras logarítmicas para mover $- 4 x + 1$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.4

Multiplique $- 4 x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.6

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Etapa 4.2.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Etapa 4.2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Combine os termos opostos em $4 x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Etapa 4.2.5.1.2

Some $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 4.2.5.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 4.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.1.2

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.3.2

Simplifique $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.3.4.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Etapa 4.3.3.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Etapa 4.3.3.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.3.5.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.2.2

Simplifique.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.3.1

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.3.5.3.2

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Etapa 4.3.4.2

Some $\ln (\frac{x}{3})$ e $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Etapa 4.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 4.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$