Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique $(y - 1) (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - x = y + 1$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - x - y = 1$

Etapa 3.4.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = 1 + x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = 1 + x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = 1 + x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Etapa 5.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Etapa 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Etapa 5.2.4.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7.2

Some $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.8.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Etapa 5.2.8.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Etapa 5.2.8.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Etapa 5.2.8.6

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Etapa 5.2.8.7

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.9.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Etapa 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Combine.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.6.3

Some $x + x$ e $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.6.4

Some $x$ e $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.7.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Etapa 5.3.7.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Etapa 5.3.7.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Etapa 5.3.7.6

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Etapa 5.3.7.7

Some $0$ e $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.3.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$