Álgebra Exemplos

$x^{2} \leq 4 x + 1$

Etapa 1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - 4 x \leq 1$

Etapa 2

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} - 4 x - 1 \leq 0$

Etapa 3

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3

Some $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Etapa 7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.3

Some $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Etapa 7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + \sqrt{5}$

Etapa 8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.3

Some $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.4.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Etapa 8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - \sqrt{5}$

Etapa 9

Consolide as soluções.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2 - \sqrt{5}$

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$

$x > 2 + \sqrt{5}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < 2 - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2 - \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

${(- 3)}^{2} \leq 4 (- 3) + 1$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $- 11$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} \leq 4 (0) + 1$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > 2 + \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2 + \sqrt{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 7$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $7$ na desigualdade original.

${(7)}^{2} \leq 4 (7) + 1$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $49$ é maior do que o lado direito $29$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2 - \sqrt{5}$ Falso

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ Verdadeiro

$x > 2 + \sqrt{5}$ Falso

$x < 2 - \sqrt{5}$ Falso

$2 - \sqrt{5} < x < 2 + \sqrt{5}$ Verdadeiro

$x > 2 + \sqrt{5}$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 - \sqrt{5} \leq x \leq 2 + \sqrt{5}$

Etapa 13

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}]$

Etapa 14