Álgebra Exemplos

$f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ como uma equação.

$y = 25 x^{2} + 70 x + 49$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 25 y^{2} + 70 y + 49$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $25 y^{2} + 70 y + 49 = x$ .

$25 y^{2} + 70 y + 49 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$25 y^{2} + 70 y + 49 - x = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 25$ , $b = 70$ e $c = 49 - x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 70 \pm \sqrt{70^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (49 - x))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $70$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 100$ por $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.6

Subtraia $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.7

Some $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.8

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $70$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 100$ por $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.6

Subtraia $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.7

Some $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.8

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- 7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.6.5

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.6.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{x})}{5}$

Etapa 3.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 - \sqrt{x})}{5}$

Etapa 3.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $70$ à potência de $2$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4 \cdot 25 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot (49 - x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 100 \cdot 49 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $- 100$ por $49$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 - 100 (- x)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 100$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{4900 - 4900 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.6

Subtraia $4900$ de $4900$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{0 + 100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.7

Some $0$ e $100 x$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{100 x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.8

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$y = \frac{- 70 \pm \sqrt{10^{2} x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$

Etapa 3.7.3

Simplifique $\frac{- 70 \pm 10 \sqrt{x}}{50}$ .

$y = \frac{- 7 \pm \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- 7 - \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.7.5

Fatore $- 1$ de $- 7 - \sqrt{x}$ .

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Etapa 3.7.5.1

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.7.5.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{x}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{x})}{5}$

Etapa 3.7.5.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (7) - (\sqrt{x})$ .

$y = \frac{- 1 (7 + \sqrt{x})}{5}$

Etapa 3.7.5.4

Reescreva $- 1 (7 + \sqrt{x})$ como $- (7 + \sqrt{x})$ .

$y = \frac{- (7 + \sqrt{x})}{5}$

Etapa 3.7.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ é o inverso de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{7 - \sqrt{x}}{5}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 5.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ é o intervalo de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ é o domínio de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$ é o inverso de $f (x) = 25 x^{2} + 70 x + 49$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 - \sqrt{x}}{5}, - \frac{7 + \sqrt{x}}{5}$

Etapa 6