Álgebra Exemplos

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{3}$ por $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{0}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{x^{0}}) + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(- 1)}^{0} x^{3} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $x^{0}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $x^{0}$ de ${(- 1)}^{0} x^{3}$ .

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum.

$x^{0} ({(- 1)}^{0} x^{3}) \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.4.3

Reescreva a expressão.

${(- 1)}^{0} x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 x^{3} \cdot 1^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.6

Multiplique $1$ por $1^{0}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.6.1

Mova $1^{0}$ .

$1^{0} \cdot 1 x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $1^{0}$ por $1$ .

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Etapa 4.6.2.1

Eleve $1$ à potência de $1$ .

$1^{0} \cdot 1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1^{0 + 1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.6.3

Some $0$ e $1$ .

$1^{1} x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.7

Simplifique $1^{1} x^{3}$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.8

Simplifique.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot (- \frac{1}{x}) + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.9

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.9.2

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.9.3

Cancele o fator comum.

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{- 1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.9.4

Reescreva a expressão.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.11

Simplifique.

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot x \cdot {(- \frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.12.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.14

Multiplique $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.15

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{3} - 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.16

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.16.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.16.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.16.3

Cancele o fator comum.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.16.4

Reescreva a expressão.

$x^{3} - 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.17

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.18

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.19

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.20

Multiplique ${(- \frac{1}{x})}^{3}$ por $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.21

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.21.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Etapa 4.21.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Etapa 4.22

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Etapa 4.23

Um elevado a qualquer potência é um.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$