Álgebra Exemplos

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${\displaystyle -1+6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-1]+\frac{d}{dx}\left[6\cos (\frac{2\pi }{7}\cdot (x-5))\right]}$.

Como ${\displaystyle -1}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle -1}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 0}$.

Como ${\displaystyle 6}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle 6\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[\cos \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)\right]}$.

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ é ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, em que ${\displaystyle f\left(x\right)=\cos \left(x\right)}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{2\pi }{7}(x-5)}$.

Como ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}(x-5)}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}[x-5]}$.

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${\displaystyle x-5}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}[-5]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=1}$.

Como ${\displaystyle -5}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle -5}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 0}$.

Some ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 0}$.

Multiplique ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ por ${\displaystyle 1}$.

Combine ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ e ${\displaystyle \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}$.

Multiplique ${\displaystyle -1}$ por ${\displaystyle 6}$.

Combine ${\displaystyle -6}$ e ${\displaystyle \frac{2\pi \sin \left(\frac{2\pi }{7}(x-5)\right)}{7}}$.

Multiplique ${\displaystyle 2}$ por ${\displaystyle -6}$.

Mova o número negativo para a frente da fração.

Aplique a propriedade distributiva.

Combine os termos.

Para aplicar a regra da cadeia, defina ${\displaystyle u}$ como ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

A derivada de ${\displaystyle \sin \left(u\right)}$ em relação a ${\displaystyle u}$ é ${\displaystyle \cos \left(u\right)}$.

Substitua todas as ocorrências de ${\displaystyle u}$ por ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$.

Combine ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$ e ${\displaystyle \frac{12\pi }{7}}$.

Mova ${\displaystyle 12}$ para a esquerda de ${\displaystyle \cos (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})}$.

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7}}$ com relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{2\pi x}{7}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{10\pi }{7}]}$.

Como ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle \frac{2\pi x}{7}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ é ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, em que ${\displaystyle n=1}$.

Multiplique ${\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$ por ${\displaystyle 1}$.

Como ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ é constante em relação a ${\displaystyle x}$, a derivada de ${\displaystyle -\frac{10\pi }{7}}$ em relação a ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 0}$.

Combine frações.

Divida cada termo em ${\displaystyle 12\pi \sin (\frac{2\pi x}{7}-\frac{10\pi }{7})=0}$ por ${\displaystyle 12\pi }$.

Simplifique o lado esquerdo.

Simplifique o lado direito.

O valor exato de ${\displaystyle \arcsin \left(0\right)}$ é ${\displaystyle 0}$.

Divida cada termo em ${\displaystyle 2\pi x=10\pi }$ por ${\displaystyle 2\pi }$.

Simplifique o lado esquerdo.

Simplifique o lado direito.

Subtraia ${\displaystyle 0}$ de ${\displaystyle \pi }$.

Mova todos os termos que não contêm ${\displaystyle x}$ para o lado direito da equação.

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

Divida cada termo em ${\displaystyle 2\pi x=17\pi }$ por ${\displaystyle 2\pi }$ e simplifique.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Subtraia ${\displaystyle 10\pi }$ de ${\displaystyle 10\pi }$.

Divida ${\displaystyle 0}$ por ${\displaystyle 7}$.

O valor exato de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ é ${\displaystyle 1}$.

Multiplique ${\displaystyle 24}$ por ${\displaystyle 1}$.

Simplifique cada termo.

Some ${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle 6}$.

A resposta final é ${\displaystyle 5}$.

Combine ${\displaystyle \frac{17}{2}}$ e ${\displaystyle 2}$.

Combine ${\displaystyle \frac{17\cdot 2}{2}}$ e ${\displaystyle \pi }$.

Reduza a expressão ${\displaystyle \frac{34\pi }{2}}$ cancelando os fatores comuns.

Divida ${\displaystyle 17\pi }$ por ${\displaystyle 1}$.

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

Subtraia ${\displaystyle 10\pi }$ de ${\displaystyle 17\pi }$.

Cancele o fator comum de ${\displaystyle 7}$.

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

O valor exato de ${\displaystyle \cos \left(0\right)}$ é ${\displaystyle 1}$.

Multiplique ${\displaystyle -1}$ por ${\displaystyle 1}$.

Multiplique ${\displaystyle -1}$ por ${\displaystyle 24}$.

Multiplique ${\displaystyle -1}$ por ${\displaystyle -1}$.

Multiplique ${\displaystyle \frac{24{\pi }^2}{49}}$ por ${\displaystyle 1}$.

Simplifique cada termo.