Álgebra Exemplos

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 n + 1} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 n + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Etapa 1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 n = 2 \cdot n \cdot 1$

Etapa 1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{5 n}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = n$ e $b = 1$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2 n - 3}$

Etapa 1.2

Fatore $n^{2} + 2 n - 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $2$ .

$- 1, 3$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{n + 3}{n + 3} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$

Etapa 3

Para escrever $\frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{n + 3}{n + 3} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)} \cdot \frac{n - 1}{n - 1}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(n + 3) {(n - 1)}^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1

Multiplique $\frac{5 n}{{(n - 1)}^{2}}$ por $\frac{n + 3}{n + 3}$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2}{(n - 1) (n + 3)} \cdot \frac{n - 1}{n - 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{2}{(n - 1) (n + 3)}$ por $\frac{n - 1}{n - 1}$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{(n - 1) (n + 3) (n - 1)}$

Etapa 4.3

Eleve $n - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1} (n - 1) (n + 3)}$

Etapa 4.4

Eleve $n - 1$ à potência de $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1} {(n - 1)}^{1} (n + 3)}$

Etapa 4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{1 + 1} (n + 3)}$

Etapa 4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{5 n (n + 3)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)} + \frac{2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 n (n + 3) + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 n \cdot n + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.2

Multiplique $n$ por $n$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $n$ .

$\frac{5 (n \cdot n) + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $n$ por $n$ .

$\frac{5 n^{2} + 5 n \cdot 3 + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 (n - 1)}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 n + 2 \cdot - 1}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 n^{2} + 15 n + 2 n - 2}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$

Etapa 6.6

Some $15 n$ e $2 n$ .

$\frac{5 n^{2} + 17 n - 2}{{(n - 1)}^{2} (n + 3)}$