Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{40} - \frac{y^{2}}{81} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2 \sqrt{10}$

$b = 9$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{10})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{10}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{10}}^{2} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 \cdot 10^{1} + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 \cdot 10 + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $4$ por $10$ .

$\sqrt{40 + {(9)}^{2}}$

Etapa 4.3.3.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{40 + 81}$

Etapa 4.3.3.3

Some $40$ e $81$ .

$\sqrt{121}$

Etapa 4.3.3.4

Reescreva $121$ como $11^{2}$ .

$\sqrt{11^{2}}$

Etapa 4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$11$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(11, 0)$

Etapa 5.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 11, 0)$

Etapa 5.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(11, 0), (- 11, 0)$

Etapa 6