Álgebra Exemplos

${(2 z + 5 k)}^{4}$

Etapa 1

Use o teorema da expansão binomial para encontrar cada termo. De acordo com o teorema binomial, ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 z)}^{4 - k} \cdot {(5 k)}^{k}$

Etapa 2

Expanda a soma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 z)}^{4 - 0} \cdot {(5 k)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 z)}^{4 - 1} \cdot {(5 k)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 z)}^{4 - 2} \cdot {(5 k)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 z)}^{4 - 3} \cdot {(5 k)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 z)}^{4 - 4} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 3

Simplifique os expoentes de cada termo da expansão.

$1 \cdot {(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(2 z)}^{4}$ por $1$ .

${(2 z)}^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $2 z$ .

$2^{4} z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 z^{4} \cdot {(5 k)}^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $5 k$ .

$16 z^{4} \cdot (5^{0} k^{0}) + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 \cdot 5^{0} z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$16 \cdot 1 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.7

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 z^{4} k^{0} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.8

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$16 z^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.9

Multiplique $16$ por $1$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot {(2 z)}^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.10

Aplique a regra do produto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (2^{3} z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 z^{4} + 4 \cdot (8 z^{3}) \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.12

Multiplique $8$ por $4$ .

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot {(5 k)}^{1} + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.13

Simplifique.

$16 z^{4} + 32 z^{3} \cdot (5 k) + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.14

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 z^{4} + 32 \cdot 5 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.15

Multiplique $32$ por $5$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot {(2 z)}^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.16

Aplique a regra do produto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (2^{2} z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 6 \cdot (4 z^{2}) \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.18

Multiplique $4$ por $6$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot {(5 k)}^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.19

Aplique a regra do produto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 z^{2} \cdot (5^{2} k^{2}) + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.20

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 5^{2} z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.21

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 24 \cdot 25 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.22

Multiplique $24$ por $25$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot {(2 z)}^{1} \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.23

Simplifique.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 4 \cdot (2 z) \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.24

Multiplique $2$ por $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot {(5 k)}^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.25

Aplique a regra do produto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 z \cdot (5^{3} k^{3}) + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.26

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 5^{3} z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.27

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 8 \cdot 125 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.28

Multiplique $8$ por $125$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.29

Multiplique ${(2 z)}^{0}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(2 z)}^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.30

Aplique a regra do produto a $2 z$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 2^{0} z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.31

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.32

Multiplique $z^{0}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + z^{0} \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.33

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 1 \cdot {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.34

Multiplique ${(5 k)}^{4}$ por $1$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + {(5 k)}^{4}$

Etapa 4.35

Aplique a regra do produto a $5 k$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 5^{4} k^{4}$

Etapa 4.36

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$16 z^{4} + 160 z^{3} k + 600 z^{2} k^{2} + 1000 z k^{3} + 625 k^{4}$