Álgebra Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$

Etapa 1

Defina $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Etapa 2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$4 \cdot 2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 8 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $4$ por $8$ .

$32 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$32 - 13 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.5

Multiplique $- 13$ por $4$ .

$32 - 52 + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.6

Subtraia $52$ de $32$ .

$- 20 + 9 \cdot 2 + 2$

Etapa 2.1.3.7

Multiplique $9$ por $2$ .

$- 20 + 18 + 2$

Etapa 2.1.3.8

Some $- 20$ e $18$ .

$- 2 + 2$

Etapa 2.1.3.9

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2}{x - 2}$

Etapa 2.1.5

Divida $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ por $x - 2$ .

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Etapa 2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$2$

Etapa 2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{3} - 8 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Etapa 2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{2} + 10 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$

Etapa 2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Etapa 2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 2$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Etapa 2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Etapa 2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$4 x^{2} - 5 x - 1$

Etapa 2.1.6

Escreva $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (4 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.4

Defina $4 x^{2} - 5 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $4 x^{2} - 5 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.2.2

Substitua os valores $a = 4$ , $b = - 5$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.3.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3.1.2.2

Multiplique $- 16$ por $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3.1.3

Some $25$ e $16$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{8}$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (4 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 2, \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Forma decimal:

$x = 2, 1.42539052 \dots, - 0.17539052 \dots$

Etapa 4