Álgebra Exemplos

$y = 4^{2 x + 9}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 4^{2 y + 9}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $4^{2 y + 9} = x$ .

$4^{2 y + 9} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4^{2 y + 9}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (4^{2 y + 9})$ movendo $2 y + 9$ para fora do logaritmo.

$(2 y + 9) \ln (4) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) = \ln (x)$

Etapa 2.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 y \ln (4) + 9 \ln (4) - \ln (x) = 0$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.6.1

Subtraia $9 \ln (4)$ dos dois lados da equação.

$2 y \ln (4) - \ln (x) = - 9 \ln (4)$

Etapa 2.6.2

Some $\ln (x)$ aos dois lados da equação.

$2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$

Etapa 2.7

Divida cada termo em $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ por $2 \ln (4)$ e simplifique.

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Etapa 2.7.1

Divida cada termo em $2 y \ln (4) = - 9 \ln (4) + \ln (x)$ por $2 \ln (4)$ .

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y \ln (4)}{2 \ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 2.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- 9 \ln (4)}{2 \ln (4)} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{- 9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 2.7.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ é o inverso de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9}$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (4^{2 x + 9})}{2 \ln (4)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Expanda $\ln (4^{2 x + 9})$ movendo $2 x + 9$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (4)$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{(2 x + 9) \ln (4)}{2 \ln (4)}$

Etapa 4.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = - \frac{9}{2} + \frac{2 x + 9}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{- 9 + 2 x + 9}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Combine os termos opostos em $- 9 + 2 x + 9$ .

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Etapa 4.2.4.2.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 4.2.4.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = \frac{2 x}{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{2 x + 9} = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) + 9}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1.1

Simplifique $2 \ln (4)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (4^{2})}) + 9}$

Etapa 4.3.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Etapa 4.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (- \frac{9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{9}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Etapa 4.3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{2 (\frac{- 9}{2}) + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Etapa 4.3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + 2 (\frac{\ln (x)}{\ln (16)}) + 9}$

Etapa 4.3.3.4

Multiplique $2 \frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

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Etapa 4.3.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{2 \ln (x)}{\ln (16)} + 9}$

Etapa 4.3.3.4.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9}$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $- 9 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)} + 9$ .

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Etapa 4.3.4.1

Some $- 9$ e $9$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{0 + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Etapa 4.3.4.2

Some $0$ e $\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}$ .

$f (- \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}) = 4^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (16)}}$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$ é o inverso de $f (x) = 4^{2 x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{9}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \ln (4)}$