Álgebra Exemplos

$f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ como uma equação.

$y = 50000 {(0.8)}^{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 50000 {(0.8)}^{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ .

$50000 \cdot {0.8}^{y} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ por $50000$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $50000 \cdot {0.8}^{y} = x$ por $50000$ .

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $50000$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50000 \cdot {0.8}^{y}}{50000} = \frac{x}{50000}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida ${0.8}^{y}$ por $1$ .

${0.8}^{y} = \frac{x}{50000}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({0.8}^{y}) = \ln (\frac{x}{50000})$

Etapa 3.4

Expanda $\ln ({0.8}^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ por $\ln (0.8)$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $y \ln (0.8) = \ln (\frac{x}{50000})$ por $\ln (0.8)$ .

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (0.8)$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (0.8)}{\ln (0.8)} = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ é o inverso de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $50000$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln (\frac{50000 {(0.8)}^{x}}{50000})}{\ln (0.8)}$

Etapa 5.2.3.2

Divida ${(0.8)}^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{\ln ({(0.8)}^{x})}{\ln (0.8)}$

Etapa 5.2.4

Expanda $\ln ({(0.8)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $\ln (0.8)$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = \frac{x \ln (0.8)}{\ln (0.8)}$

Etapa 5.2.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (50000 {(0.8)}^{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 {(0.8)}^{\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}}$

Etapa 5.3.3

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot {0.8}^{\log_{0.8} (\frac{x}{50000})}$

Etapa 5.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $50000$ .

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Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = 50000 \cdot \frac{x}{50000}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$ é o inverso de $f (x) = 50000 {(0.8)}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{50000})}{\ln (0.8)}$