Álgebra Exemplos

$y + 7.5 = 2 {(x + 2.5)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $7.5$ dos dois lados da equação.

$y = 2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $2 {(x + 2.5)}^{2} - 7.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.1

Reescreva ${(x + 2.5)}^{2}$ como $(x + 2.5) (x + 2.5)$ .

$2 ((x + 2.5) (x + 2.5)) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.2

Expanda $(x + 2.5) (x + 2.5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x (x + 2.5) + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 (x + 2.5)) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x \cdot x + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot 2.5 + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.3.1.2

Mova $2.5$ para a esquerda de $x$ .

$2 (x^{2} + 2.5 \cdot x + 2.5 x + 2.5 \cdot 2.5) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.3.1.3

Multiplique $2.5$ por $2.5$ .

$2 (x^{2} + 2.5 x + 2.5 x + 6.25) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.3.2

Some $2.5 x$ e $2.5 x$ .

$2 (x^{2} + 5 x + 6.25) - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 2 (5 x) + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$2 x^{2} + 10 x + 2 \cdot 6.25 - 7.5$

Etapa 1.2.1.1.5.2

Multiplique $2$ por $6.25$ .

$2 x^{2} + 10 x + 12.5 - 7.5$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $7.5$ de $12.5$ .

$2 x^{2} + 10 x + 5$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 10$

$c = 5$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $5$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Reescreva $5$ como $1 (5)$ .

$d = \frac{1 (5)}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Reescreva $2$ como $1 (2)$ .

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{5}{2}$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 5 - \frac{100}{8}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Cancele o fator comum de $100$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.1

Fatore $4$ de $100$ .

$e = 5 - \frac{4 (25)}{8}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e = 5 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e = 5 - \frac{25}{2}$

Etapa 1.2.5.2.2

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e = 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Etapa 1.2.5.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Etapa 1.2.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{5 \cdot 2 - 25}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.5.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$e = \frac{10 - 25}{2}$

Etapa 1.2.5.2.5.2

Subtraia $25$ de $10$ .

$e = \frac{- 15}{2}$

Etapa 1.2.5.2.6

Cancele o fator comum de $- 15$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.6.1

Reescreva $- 15$ como $1 (- 15)$ .

$e = \frac{1 (- 15)}{2}$

Etapa 1.2.5.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.6.2.1

Reescreva $2$ como $1 (2)$ .

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{1 \cdot - 15}{1 \cdot 2}$

Etapa 1.2.5.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{- 15}{2}$

Etapa 1.2.5.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{15}{2}$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$ .

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Etapa 1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{15}{2}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - \frac{15}{2}$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{15}{2})$

Etapa 4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 5

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{61}{8}$

Etapa 6