Álgebra Exemplos

$x^{2} + 2 x \geq 15$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 2 x = 15$

Etapa 2

Subtraia $15$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 5$

Etapa 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{2} + 2 (- 8) \geq 15$

Etapa 9.1.3

O lado esquerdo $48$ é maior do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 2 (0) \geq 15$

Etapa 9.2.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

${(6)}^{2} + 2 (6) \geq 15$

Etapa 9.3.3

O lado esquerdo $48$ é maior do que o lado direito $15$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - 5$ Verdadeiro

$- 5 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 5$ ou $x \geq 3$

Etapa 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$(- \infty, - 5] \cup [3, \infty)$

Etapa 12