Álgebra Exemplos

$y = \log_{2} (x + 7)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{2} (y + 7)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{2} (y + 7) = x$ .

$\log_{2} (y + 7) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{2} (y + 7) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{x} = y + 7$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $y + 7 = 2^{x}$ .

$y + 7 = 2^{x}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = 2^{x} - 7$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{2} (x + 7))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = 2^{\log_{2} (x + 7)} - 7$

Etapa 4.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 7 - 7$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x + 7 - 7$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (x + 7)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (2^{x} - 7)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} ((2^{x} - 7) + 7)$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(2^{x} - 7) + 7$ .

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Etapa 4.3.3.1

Some $- 7$ e $7$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Etapa 4.3.3.2

Some $2^{x}$ e $0$ .

$f (2^{x} - 7) = \log_{2} (2^{x})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (2^{x} - 7) = x \log_{2} (2)$

Etapa 4.3.5

A base do logaritmo $2$ de $2$ é $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (2^{x} - 7) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$ é o inverso de $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = 2^{x} - 7$