Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2}) = 5 x$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1

Simplifique $5 (\frac{1}{5} \cdot e^{y + 2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{y + 2}$ .

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{e^{y + 2}}{5} = 5 x$

Etapa 2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{y + 2} = 5 x$

Etapa 2.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y + 2}) = \ln (5 x)$

Etapa 2.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.1

Expanda $\ln (e^{y + 2})$ movendo $y + 2$ para fora do logaritmo.

$(y + 2) \ln (e) = \ln (5 x)$

Etapa 2.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y + 2) \cdot 1 = \ln (5 x)$

Etapa 2.5.3

Multiplique $y + 2$ por $1$ .

$y + 2 = \ln (5 x)$

Etapa 2.6

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (5 x) - 2$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2})) - 2$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (5 (\frac{e^{x + 2}}{5})) - 2$

Etapa 4.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Etapa 4.2.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $x + 2$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Etapa 4.2.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Etapa 4.2.3.5

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 2 - 2$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\ln (5 x) - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{(\ln (5 x) - 2) + 2}$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(\ln (5 x) - 2) + 2$ .

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Etapa 4.3.3.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x) + 0}$

Etapa 4.3.3.2

Some $\ln (5 x)$ e $0$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot e^{\ln (5 x)}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.3.5.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Etapa 4.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (5 x) - 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Etapa 4.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (5 x) - 2) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{5} \cdot e^{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (5 x) - 2$