Álgebra Exemplos

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $20$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

Etapa 4.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 + 5}$

Etapa 4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.3.1

Some $4$ e $5$ .

$\sqrt{9}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Etapa 4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 5.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 3)$

Etapa 5.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - 3)$

Etapa 5.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(0, 3), (0, - 3)$

Etapa 6