Álgebra Exemplos

$y = 2^{3 x - 1}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = 2^{3 y - 1}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $2^{3 y - 1} = x$ .

$2^{3 y - 1} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (2^{3 y - 1})$ movendo $3 y - 1$ para fora do logaritmo.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique $(3 y - 1) \ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Etapa 2.4.1.2

Reescreva $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Etapa 2.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Etapa 2.6

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Some $\ln (2)$ aos dois lados da equação.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Etapa 2.6.2

Some $\ln (x)$ aos dois lados da equação.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Etapa 2.7

Divida cada termo em $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ por $3 \ln (2)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Divida cada termo em $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ por $3 \ln (2)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 2.7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Expanda $\ln (2^{3 x - 1})$ movendo $3 x - 1$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Etapa 4.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Etapa 4.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Etapa 4.2.4.2

Combine os termos opostos em $1 + 3 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Etapa 4.2.4.2.2

Some $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Etapa 4.2.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Etapa 4.2.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Simplifique $3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Etapa 4.3.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Etapa 4.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Etapa 4.3.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Etapa 4.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Etapa 4.3.3.4

Multiplique $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Combine $3$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Etapa 4.3.3.4.2

Simplifique $3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Etapa 4.3.4.2

Some $0$ e $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$