Álgebra Exemplos

x = {(y - 2)}^{2}

$x = {(y - 2)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ como

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ .

x = (y - 2) (y - 2)

$x = (y - 2) (y - 2)$

Etapa 1.2

Expanda

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

x = y (y - 2) - 2 (y - 2)

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique

y

$y$ por

y

$y$ .

x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Etapa 1.3.1.2

Mova

- 2

$- 2$ para a esquerda de

y

$y$ .

x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique

- 2

$- 2$ por

- 2

$- 2$ .

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Etapa 1.3.2

Subtraia

2 y

$2 y$ de

- 2 y

$- 2 y$ .

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de

y^{2} - 4 y + 4

$y^{2} - 4 y + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = 4

$c = 4$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de

- 4

$- 4$ e

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Fatore

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Divida

$- 2$ por

$1$ .

$d = - 2$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de

${(- 4)}^{2}$ e

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.1

Reescreva

$- 4$ como

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.4

Multiplique

$4^{2}$ por

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.5

Fatore

$4$ de

$4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Fatore

$4$ de

$4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Divida

$4$ por

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$e = 4 - 4$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia

$4$ de

$4$ .

$e = 0$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

${(y - 2)}^{2} + 0$ .

${(y - 2)}^{2} + 0$

Etapa 2.1.2

Defina

$x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice,

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Etapa 2.3

Como o valor de

$a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 2.4

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Etapa 2.5

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada x

$h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 2$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada x

$h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eixo de simetria:

$y = 2$

Diretriz:

$x = - \frac{1}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eixo de simetria:

$y = 2$

Diretriz:

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua o valor

$x$

$1$ em

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . Nesse caso, o ponto é

$(1, 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Etapa 3.1.2.2

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Etapa 3.1.2.3

Some

$1$ e

$2$ .

$f (1) = 3$

Etapa 3.1.2.4

A resposta final é

$3$ .

$y = 3$

Etapa 3.1.3

Converta

$3$ em decimal.

$= 3$

Etapa 3.2

Substitua o valor

$x$

$1$ em

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . Nesse caso, o ponto é

$(1, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Etapa 3.2.2.3

Some

$- 1$ e

$2$ .

$f (1) = 1$

Etapa 3.2.2.4

A resposta final é

$1$ .

$y = 1$

Etapa 3.2.3

Converta

$1$ em decimal.

$= 1$

Etapa 3.3

Substitua o valor

$x$

$2$ em

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . Nesse caso, o ponto é

$(2, 3.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.3.3

Converta

$\sqrt{2} + 2$ em decimal.

$= 3.41421356$

Etapa 3.4

Substitua o valor

$x$

$2$ em

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . Nesse caso, o ponto é

$(2, 0.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.4.2.2

A resposta final é

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Etapa 3.4.3

Converta

$- \sqrt{2} + 2$ em decimal.

$= 0.58578643$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice:

$(0, 2)$

Foco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Eixo de simetria:

$y = 2$

Diretriz:

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Etapa 5