Álgebra Exemplos

y = 2 \cos (3 x)

$y = 2 \cos (3 x)$

Etapa 1

Use a forma

a \cos (b x - c) + d

$a \cos (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

a = 2

$a = 2$

b = 3

$b = 3$

c = 0

$c = 0$

d = 0

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude

| a |

$| a |$ .

Amplitude:

2

$2$

Etapa 3

Encontre o período de

2 \cos (3 x)

$2 \cos (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua

b

$b$ por

3

$3$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 3.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

3

$3$ é

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase:

\frac{c}{b}

$\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de

c

$c$ e

b

$b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase:

\frac{0}{3}

$\frac{0}{3}$

Etapa 4.3

Divida

0

$0$ por

3

$3$ .

Mudança de fase:

0

$0$

Mudança de fase:

0

$0$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude:

2

$2$

Período:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em

x = 0

$x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável

x

$x$ por

0

$0$ na expressão.

f (0) = 2 \cos (3 (0))

$f (0) = 2 \cos (3 (0))$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Multiplique

3

$3$ por

0

$0$ .

f (0) = 2 \cos (0)

$f (0) = 2 \cos (0)$

Etapa 6.1.2.2

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

f (0) = 2 \cdot 1

$f (0) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.2.3

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

f (0) = 2

$f (0) = 2$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável

x

$x$ por

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ na expressão.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{6}))$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Fatore

3

$3$ de

6

$6$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 (2)}))$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3 \cdot 2}))$

Etapa 6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.2.2.2

O valor exato de

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ é

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique

2

$2$ por

0

$0$ .

f (\frac{π}{6}) = 0

$f (\frac{π}{6}) = 0$

Etapa 6.2.2.4

A resposta final é

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em

x = \frac{π}{3}

$x = \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável

x

$x$ por

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ na expressão.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cos (π)$

Etapa 6.3.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- \cos (0))$

Etapa 6.3.2.3

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)

$f (\frac{π}{3}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2.4

Multiplique

2 (- 1 \cdot 1)

$2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1

$f (\frac{π}{3}) = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.4.2

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

f (\frac{π}{3}) = - 2

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

Etapa 6.3.2.5

A resposta final é

- 2

$- 2$ .

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

- 2

$- 2$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável

x

$x$ por

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ na expressão.

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (3 (\frac{π}{2}))$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Combine

3

$3$ e

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 6.4.2.3

O valor exato de

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ é

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 0$

Etapa 6.4.2.4

Multiplique

2

$2$ por

0

$0$ .

f (\frac{π}{2}) = 0

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Etapa 6.4.2.5

A resposta final é

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável

x

$x$ por

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ na expressão.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (3 (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 6.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (2 π)$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia as rotações completas de

2 π

$2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a

0

$0$ e menor do que

2 π

$2 π$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cos (0)$

Etapa 6.5.2.3

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.5.2.4

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

f (\frac{2 π}{3}) = 2

$f (\frac{2 π}{3}) = 2$

Etapa 6.5.2.5

A resposta final é

2

$2$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude:

2

$2$

Período:

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{π}{3} & - 2 \\ \frac{π}{2} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 2 \end{array}$

Etapa 8