Álgebra Exemplos

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a

1

$1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável

h

$h$ representa o deslocamento de x em relação à origem,

k

$k$ representa o deslocamento de y em relação à origem,

a

$a$ .

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de

(h, k)

$(h, k)$ . Substitua os valores de

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre

c

$c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula.

\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\sqrt{4 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

Etapa 5.3.3

Some

4

$4$ e

1

$1$ .

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar

a

$a$ com

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(2, 0)

$(2, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair

a

$a$ de

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar

c

$c$ com

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair

c

$c$ de

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(- \sqrt{5}, 0)

$(- \sqrt{5}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula.

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve

2

$2$ à potência de

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

Etapa 8.3.3

Some

4

$4$ e

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de

b

$b$ e

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ por

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ por

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ à potência de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ à potência de

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ como

5

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ como

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

Etapa 11

Simplifique

$\frac{1}{2} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some

$\frac{1}{2} x$ e

$0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

Etapa 11.2

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$x$ .

$y = \frac{x}{2}$

Etapa 12

Simplifique

$- \frac{1}{2} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some

$- \frac{1}{2} x$ e

$0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

Etapa 12.2

Combine

$x$ e

$\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro:

$(0, 0)$

Vértices:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Ponto imaginário:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Excentricidade:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parâmetro focal:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Assíntotas:

$y = \frac{x}{2}$ ,

$y = - \frac{x}{2}$

Etapa 15