Álgebra Exemplos

${(x - y)}^{5}$

Etapa 1

O triângulo de Pascal pode ser exibido assim:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

O triângulo pode ser usado para calcular os coeficientes da expansão de ${(a + b)}^{n}$ , usando o expoente $n$ e somando $1$ . Os coeficientes corresponderão à linha $n + 1$ do triângulo. Para ${(x - y)}^{5}$ , $n = 5$ , de forma que os coeficientes da expansão corresponderão à linha $6$ .

Etapa 2

A expansão segue a regra ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Os valores dos coeficientes, do triângulo, são $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a$ $x$ e $b$ $- y$ na expressão.

$1 {(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Multiplique ${(x)}^{5}$ por $1$ .

${(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.2

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$x^{5} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(- 1)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.5

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.8

Simplifique.

$x^{5} + 5 x^{4} (- y) + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{5} + 5 \cdot - 1 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.10

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.11

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot {(- 1)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.13

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot 1 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.14

Multiplique $10$ por $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.15

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.16

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 1)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.17

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 1 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.18

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.19

Simplifique.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.20

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.21

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.22

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 1 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.23

Multiplique $5$ por $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.24

Multiplique ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Etapa 4.25

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(- y)}^{5}$

Etapa 4.26

Multiplique ${(- y)}^{5}$ por $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- y)}^{5}$

Etapa 4.27

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- 1)}^{5} y^{5}$

Etapa 4.28

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5}$