Álgebra Exemplos

$y = 4 x - x^{2}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reordene

$4 x$ e

$- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

Etapa 1.1.2

Complete o quadrado de

$- x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use a forma

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

$a$ ,

$b$ e

$c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Etapa 1.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.2.3

Encontre o valor de

$d$ usando a fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Substitua os valores de

$a$ e

$b$ na fórmula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de

$4$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1.1

Fatore

$2$ de

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de

$\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$d = - 2$

Etapa 1.1.2.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de

$4^{2}$ e

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1.1.1

Fatore

$4$ de

$4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.1.2

Mova o número negativo do denominador de

$\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Etapa 1.1.2.4.2.1.2

Multiplique

$- (- 1 \cdot 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$4$ .

$e = 0 - - 4$

Etapa 1.1.2.4.2.1.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 4$ .

$e = 0 + 4$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Some

$0$ e

$4$ .

$e = 4$

Etapa 1.1.2.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Etapa 1.1.3

Defina

$y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

Etapa 1.3

Como o valor de

$a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(2, 4)$

Etapa 1.5

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de

$1$ e

$- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Reescreva

$1$ como

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada y

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(2, \frac{15}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada y

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{17}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice:

$(2, 4)$

Foco:

$(2, \frac{15}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 2$

Diretriz:

$y = \frac{17}{4}$

Direção: abre para baixo

Vértice:

$(2, 4)$

Foco:

$(2, \frac{15}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 2$

Diretriz:

$y = \frac{17}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4$

Etapa 2.2.2

Some

$- 1$ e

$4$ .

$f (1) = 3$

Etapa 2.2.3

A resposta final é

$3$ .

$3$

Etapa 2.3

O valor

$y$ em

$x = 1$ é

$3$ .

$y = 3$

Etapa 2.4

Substitua a variável

$x$ por

$0$ na expressão.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique

$4$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 2.5.2

Some

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 2.5.3

A resposta final é

$0$ .

$0$

Etapa 2.6

O valor

$y$ em

$x = 0$ é

$0$ .

$y = 0$

Etapa 2.7

Substitua a variável

$x$ por

$3$ na expressão.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$9$ .

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique

$4$ por

$3$ .

$f (3) = - 9 + 12$

Etapa 2.8.2

Some

$- 9$ e

$12$ .

$f (3) = 3$

Etapa 2.8.3

A resposta final é

$3$ .

$3$

Etapa 2.9

O valor

$y$ em

$x = 3$ é

$3$ .

$y = 3$

Etapa 2.10

Substitua a variável

$x$ por

$4$ na expressão.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$16$ .

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique

$4$ por

$4$ .

$f (4) = - 16 + 16$

Etapa 2.11.2

Some

$- 16$ e

$16$ .

$f (4) = 0$

Etapa 2.11.3

A resposta final é

$0$ .

$0$

Etapa 2.12

O valor

$y$ em

$x = 4$ é

$0$ .

$y = 0$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice:

$(2, 4)$

Foco:

$(2, \frac{15}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 2$

Diretriz:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Etapa 4