Álgebra Exemplos

f (x) = x^{2} - 4 x - 1

$f (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de

x^{2} - 4 x - 1

$x^{2} - 4 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = - 1

$c = - 1$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum de

- 4

$- 4$ e

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Fatore

2

$2$ de

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Fatore

2

$2$ de

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

d = \frac{- 2}{1}

$d = \frac{- 2}{1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.4

Divida

- 2

$- 2$ por

1

$1$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de

e

$e$ usando a fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ na fórmula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum de

{(- 4)}^{2}

${(- 4)}^{2}$ e

4

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.1

Reescreva

- 4

$- 4$ como

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.3

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.4

Multiplique

4^{2}

$4^{2}$ por

1

$1$ .

e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.5

Fatore

4

$4$ de

4^{2}

$4^{2}$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Fatore

4

$4$ de

4 \cdot 1

$4 \cdot 1$ .

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

e = - 1 - \frac{4}{1}

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Divida

4

$4$ por

1

$1$ .

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

e = - 1 - 1 \cdot 4

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

4

$4$ .

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

e = - 1 - 4

$e = - 1 - 4$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Subtraia

4

$4$ de

- 1

$- 1$ .

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

e = - 5

$e = - 5$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ na forma do vértice

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$ .

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

{(x - 2)}^{2} - 5

${(x - 2)}^{2} - 5$

Etapa 1.1.2

Defina

y

$y$ como igual ao novo lado direito.

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

y = {(x - 2)}^{2} - 5

$y = {(x - 2)}^{2} - 5$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

a

$a$ ,

h

$h$ e

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 2

$h = 2$

k = - 5

$k = - 5$

Etapa 1.3

Como o valor de

a

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice

(h, k)

$(h, k)$ .

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Etapa 1.5

Encontre

p

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de

a

$a$ na fórmula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

p

$p$ com a coordenada y

k

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de

h

$h$ ,

p

$p$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

x = 2

$x = 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

p

$p$ da coordenada y

k

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

y = k - p

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de

p

$p$ e

k

$k$ na fórmula e simplifique.

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Foco:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Eixo de simetria:

x = 2

$x = 2$

Diretriz:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice:

(2, - 5)

$(2, - 5)$

Foco:

(2, - \frac{19}{4})

$(2, - \frac{19}{4})$

Eixo de simetria:

x = 2

$x = 2$

Diretriz:

y = - \frac{21}{4}

$y = - \frac{21}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de

x

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

y

$y$ . Os valores de

x

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável

x

$x$ por

1

$1$ na expressão.

f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

f (1) = 1 - 4 - 1

$f (1) = 1 - 4 - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia

4

$4$ de

1

$1$ .

f (1) = - 3 - 1

$f (1) = - 3 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia

1

$1$ de

- 3

$- 3$ .

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

f (1) = - 4

$f (1) = - 4$

Etapa 2.2.3

A resposta final é

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Etapa 2.3

O valor

y

$y$ em

x = 1

$x = 1$ é

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável

x

$x$ por

0

$0$ na expressão.

f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 1$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

f (0) = 0 + 0 - 1

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some

0

$0$ e

0

$0$ .

f (0) = 0 - 1

$f (0) = 0 - 1$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia

1

$1$ de

0

$0$ .

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

f (0) = - 1

$f (0) = - 1$

Etapa 2.5.3

A resposta final é

- 1

$- 1$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Etapa 2.6

O valor

y

$y$ em

x = 0

$x = 0$ é

- 1

$- 1$ .

y = - 1

$y = - 1$

Etapa 2.7

Substitua a variável

x

$x$ por

3

$3$ na expressão.

f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve

3

$3$ à potência de

2

$2$ .

f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

3

$3$ .

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

f (3) = 9 - 12 - 1

$f (3) = 9 - 12 - 1$

Etapa 2.8.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia

12

$12$ de

9

$9$ .

f (3) = - 3 - 1

$f (3) = - 3 - 1$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia

1

$1$ de

- 3

$- 3$ .

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

f (3) = - 4

$f (3) = - 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é

- 4

$- 4$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Etapa 2.9

O valor

y

$y$ em

x = 3

$x = 3$ é

- 4

$- 4$ .

y = - 4

$y = - 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável

x

$x$ por

4

$4$ na expressão.

f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 1$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 1$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

4

$4$ .

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

f (4) = 16 - 16 - 1

$f (4) = 16 - 16 - 1$

Etapa 2.11.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia

$16$ de

$16$ .

$f (4) = 0 - 1$

Etapa 2.11.2.2

Subtraia

$1$ de

$0$ .

$f (4) = - 1$

Etapa 2.11.3

A resposta final é

$- 1$ .

$- 1$

Etapa 2.12

O valor

$y$ em

$x = 4$ é

$- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(2, - 5)$

Foco:

$(2, - \frac{19}{4})$

Eixo de simetria:

$x = 2$

Diretriz:

$y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 4 \\ 2 & - 5 \\ 3 & - 4 \\ 4 & - 1 \end{array}$

Etapa 4