Álgebra Exemplos

2 x^{2} + 5 x - 3 < 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 < 0$

Etapa 1

Converta a desigualdade em uma equação.

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é

a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6

$a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é

b = 5

$b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore

5

$5$ de

5 x

$5 x$ .

2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva

5

$5$ como

- 1

$- 1$ mais

6

$6$

2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum,

2 x - 1

$2 x - 1$ .

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Defina

2 x - 1

$2 x - 1$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina

2 x - 1

$2 x - 1$ como igual a

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some

1

$1$ aos dois lados da equação.

2 x = 1

$2 x = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em

2 x = 1

$2 x = 1$ por

2

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em

2 x = 1

$2 x = 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida

x

$x$ por

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina

x + 3

$x + 3$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina

x + 3

$x + 3$ como igual a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia

3

$3$ dos dois lados da equação.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

x = \frac{1}{2}, - 3

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Etapa 7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Teste um valor no intervalo

x < - 3

$x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Escolha um valor no intervalo

x < - 3

$x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = - 6

$x = - 6$

Etapa 8.1.2

Substitua

x

$x$ por

- 6

$- 6$ na desigualdade original.

2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0$

Etapa 8.1.3

O lado esquerdo

39

$39$ não é menor do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.2

Teste um valor no intervalo

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Escolha um valor no intervalo

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = 0

$x = 0$

Etapa 8.2.2

Substitua

x

$x$ por

0

$0$ na desigualdade original.

2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0$

Etapa 8.2.3

O lado esquerdo

- 3

$- 3$ é menor do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.3

Teste um valor no intervalo

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Escolha um valor no intervalo

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

x = 3

$x = 3$

Etapa 8.3.2

Substitua

x

$x$ por

3

$3$ na desigualdade original.

2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0

$2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0$

Etapa 8.3.3

O lado esquerdo

30

$30$ não é menor do que o lado direito

0

$0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

x < - 3

$x < - 3$ Falso

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falso

x < - 3

$x < - 3$ Falso

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Notação de intervalo:

(- 3, \frac{1}{2})

$(- 3, \frac{1}{2})$

Etapa 11