Álgebra Exemplos

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Expanda

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

x (x - 3) + 2 (x - 3)

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Etapa 1.1.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Etapa 1.1.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Etapa 1.1.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.2.1.1

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Etapa 1.1.1.1.2.1.2

Mova

- 3

$- 3$ para a esquerda de

x

$x$ .

x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Etapa 1.1.1.1.2.1.3

Multiplique

2

$2$ por

- 3

$- 3$ .

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Etapa 1.1.1.1.2.2

Some

- 3 x

$- 3 x$ e

2 x

$2 x$ .

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

Etapa 1.1.1.2

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 1

$b = - 1$

c = - 6

$c = - 6$

Etapa 1.1.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de

- 1

$- 1$ e

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Reescreva

- 1

$- 1$ como

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.1.1.5

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.1.1

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.5.2.1.2

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.2

Para escrever

$- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.3

Combine

$- 6$ e

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.2.5.1

Multiplique

$- 6$ por

$4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.5.2

Subtraia

$1$ de

$- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Etapa 1.1.1.5.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{25}{4}$

Etapa 1.1.1.6

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 1.1.2

Defina

$y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Etapa 1.3

Como o valor de

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Etapa 1.5

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada y

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada y

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{13}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eixo de simetria:

$x = \frac{1}{2}$

Diretriz:

$y = - \frac{13}{2}$

Direção: abre para cima

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eixo de simetria:

$x = \frac{1}{2}$

Diretriz:

$y = - \frac{13}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 1$ na expressão.

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Some

$- 1$ e

$2$ .

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

Etapa 2.2.2

Multiplique

$(- 1) - 3$ por

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) - 3$

Etapa 2.2.3

Subtraia

$3$ de

$- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Etapa 2.2.4

A resposta final é

$- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.3

O valor

$y$ em

$x = - 1$ é

$- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some

$- 2$ e

$2$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

Etapa 2.5.2

Subtraia

$3$ de

$- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

Etapa 2.5.3

Multiplique

$0$ por

$- 5$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 2.5.4

A resposta final é

$0$ .

$0$

Etapa 2.6

O valor

$y$ em

$x = - 2$ é

$0$ .

$y = 0$

Etapa 2.7

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Some

$1$ e

$2$ .

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

Etapa 2.8.2

Subtraia

$3$ de

$1$ .

$f (1) = 3 \cdot - 2$

Etapa 2.8.3

Multiplique

$3$ por

$- 2$ .

$f (1) = - 6$

Etapa 2.8.4

A resposta final é

$- 6$ .

$- 6$

Etapa 2.9

O valor

$y$ em

$x = 1$ é

$- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 2.10

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Some

$2$ e

$2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

Etapa 2.11.2

Subtraia

$3$ de

$2$ .

$f (2) = 4 \cdot - 1$

Etapa 2.11.3

Multiplique

$4$ por

$- 1$ .

$f (2) = - 4$

Etapa 2.11.4

A resposta final é

$- 4$ .

$- 4$

Etapa 2.12

O valor

$y$ em

$x = 2$ é

$- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Foco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Eixo de simetria:

$x = \frac{1}{2}$

Diretriz:

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Etapa 4