Álgebra Exemplos

$y = x^{2} - 2 x - 2$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $x^{2} - 2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 2$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = - 2 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = - 2 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = - 2 - 1$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$e = - 3$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - 1)}^{2} - 3$ .

${(x - 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x - 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 3$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, - 3)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - \frac{11}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{13}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(1, - \frac{11}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(1, - \frac{11}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 2$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 2$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (0) = - 2$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 0$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 2$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 2$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 2$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = 3 - 2$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 2$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 2$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 2$

Etapa 2.8.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (2) = 0 - 2$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (2) = - 2$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 2$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 2$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 2$

Etapa 2.11.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia $6$ de $9$ .

$f (3) = 3 - 2$

Etapa 2.11.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (3) = 1$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 3$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - 3)$

Foco: $(1, - \frac{11}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 2 \\ 3 & 1 \end{array}$

Etapa 4