Álgebra Exemplos

$z^{4} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Etapa 1

Reescreva $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

${(z^{2})}^{2} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Etapa 2

Deixe $u = z^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $z^{2}$ .

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

Etapa 3

Fatore $u^{2} - 13 u + 36$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $36$ e cuja soma é $- 13$ .

$- 9, - 4$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $z^{2}$ .

$(z^{2} - 9) (z^{2} - 4) = 0$

Etapa 5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(z^{2} - 3^{2}) (z^{2} - 4) = 0$

Etapa 6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 3$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 4) = 0$

Etapa 7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 8

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = z$ e $b = 2$ .

$(z + 3) (z - 3) ((z + 2) (z - 2)) = 0$

Etapa 8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z + 3 = 0$

$z - 3 = 0$

$z + 2 = 0$

$z - 2 = 0$

Etapa 10

Defina $z + 3$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Defina $z + 3$ como igual a $0$ .

$z + 3 = 0$

Etapa 10.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$z = - 3$

Etapa 11

Defina $z - 3$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $z - 3$ como igual a $0$ .

$z - 3 = 0$

Etapa 11.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$z = 3$

Etapa 12

Defina $z + 2$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Defina $z + 2$ como igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Etapa 12.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$z = - 2$

Etapa 13

Defina $z - 2$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Defina $z - 2$ como igual a $0$ .

$z - 2 = 0$

Etapa 13.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$z = 2$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$ verdadeiro.

$z = - 3, 3, - 2, 2$