Álgebra Exemplos

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} = 5$

Etapa 1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5$ .

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{x + 3}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{x - 2}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{x + 3}{x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{x - 2}{x}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x + 3) x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.3

Expanda $(x - 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x (x - 1) - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.4.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.5

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.6

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.7

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.8

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.5.8.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.8.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.5.8.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 5$ e $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} + \frac{- 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.4.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.5

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6

Subtraia $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.7

Reordene os termos.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.9.8.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 2.9.8.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 5 (x) + 2}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8.1.2

Reescreva $5$ como $- 1$ mais $6$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 6) x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.9.8.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 2 (- 3 x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.10

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.11

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.12

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.13

Reescreva $- (3 x + 1)$ como $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 4.2.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 4.2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 4.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, 2$