Álgebra Exemplos

$\frac{y + 7}{y^{2} - 7 y + 10} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y^{2} - 7 y + 10$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 25}$

Etapa 1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{y^{2} - 5^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 5$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$

Etapa 3

Para escrever $- \frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)} \cdot \frac{y + 5}{y + 5} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Etapa 4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{y + 7}{(y - 5) (y - 2)}$ por $\frac{y + 5}{y + 5}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{7}{(y + 5) (y - 5)}$ por $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y - 5) (y - 2) (y + 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores de $(y - 5) (y - 2) (y + 5)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 5) (y - 2)}$

Etapa 4.4

Reordene os fatores de $(y + 5) (y - 5) (y - 2)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 5)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)} - \frac{7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(y + 7) (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Expanda $(y + 7) (y + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y (y + 5) + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 (y + 5) - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 5 + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.2.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{y^{2} + 5 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 5 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 7 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.2.2

Some $5 y$ e $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 (y - 2)}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y - 7 \cdot - 2}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.4

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$\frac{y^{2} + 12 y + 35 - 7 y + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.5

Subtraia $7 y$ de $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 35 + 14}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$

Etapa 6.6

Some $35$ e $14$ .

$\frac{y^{2} + 5 y + 49}{(y + 5) (y - 2) (y - 5)}$