Álgebra Exemplos

$2 x^{4} - x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $- \frac{1}{2}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Etapa 9.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Etapa 9.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Etapa 9.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 9.2.4

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 9.2.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.2.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 9.2.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 9.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 9.2.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 9.2.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.2.8

Combine $i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 11.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 12

A solução para $2 x^{4} - x^{2} - 1 = 0$ é $x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 1, - 1$ .

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 1, - 1$