Álgebra Exemplos

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{12}{x^{2} - 1}$ dos dois lados da equação.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

Etapa 1.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

Etapa 2

Simplifique $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ .

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Etapa 2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{3 x}{x + 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{3 x}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Fatore $3$ de $3 x (x - 1) - 12$ .

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Etapa 2.5.1.1

Fatore $3$ de $3 x (x - 1)$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.1.2

Fatore $3$ de $- 12$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.5.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Etapa 2.6

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.7

Combine $- 2$ e $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.2

Simplifique.

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Etapa 2.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.2.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.5

Expanda $(- 2 x - 2) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.9.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.9.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.9.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.9.6.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.6.3

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.8

Some $- 12$ e $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 2.9.9

Fatore $x^{2} - 3 x - 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.9.9.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 10$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 5, 2$

Etapa 2.9.9.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Etapa 3

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Etapa 4

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, - 2$