Álgebra Exemplos

$\log_{4} (x + 3) + \log_{4} (x - 3) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x + 3) (x - 3)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x (x - 3) + 3 (x - 3)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 3 \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + 3 \cdot - 3) = 2$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\log_{4} (x^{2} - 9) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{4} (x^{2} - 9) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x^{2} - 9$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 9 = 4^{2}$ .

$x^{2} - 9 = 4^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16 + 9$

Etapa 3.3.2

Some $16$ e $9$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{4} (x + 3) + \log_{4} (x - 3) = 2$ verdadeira.

$x = 5$