Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$

Etapa 1

Fatore $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

Etapa 1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 35$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 35$

Etapa 1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 35$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$- 1 - 11 + 23 \cdot - 1 + 35$

Etapa 1.3.5

Subtraia $11$ de $- 1$ .

$- 12 + 23 \cdot - 1 + 35$

Etapa 1.3.6

Multiplique $23$ por $- 1$ .

$- 12 - 23 + 35$

Etapa 1.3.7

Subtraia $23$ de $- 12$ .

$- 35 + 35$

Etapa 1.3.8

Some $- 35$ e $35$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35}{x + 1}$

Etapa 1.5

Divida $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $35 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							+	$35 x$	+	$35$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $35 x + 35$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							-	$35 x$	-	$35$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							-	$35 x$	-	$35$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 12 x + 35$

Etapa 1.6

Escreva $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ como um conjunto de fatores.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - 12 x + 35)$

Etapa 2

Fatore $x^{2} - 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Fatore $x^{2} - 12 x + 35$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $- 12$ .

$- 7, - 5$

Etapa 2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f (x) = (x + 1) ((x - 7) (x - 5))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f (x) = (x + 1) (x - 7) (x - 5)$