Álgebra Exemplos

$25^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Etapa 1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

${(5^{2})}^{x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Etapa 2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{2 x} \cdot 5^{x^{2}} = 625^{2}$

Etapa 3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5^{2 x + x^{2}} = 625^{2}$

Etapa 4

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$5^{2 x + x^{2}} = 5^{4 \cdot 2}$

Etapa 5

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$2 x + x^{2} = 4 \cdot 2$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$2 x + x^{2} = 8$

Etapa 6.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$2 x + x^{2} - 8 = 0$

Etapa 6.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.3.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $2 u + u^{2} - 8$ usando o método AC.

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Etapa 6.3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

Etapa 6.3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Etapa 6.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Etapa 6.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 6.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 6.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 4$