Álgebra Exemplos

y = x^{2} + 2 x - 1

$y = x^{2} + 2 x - 1$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de

x^{2} + 2 x - 1

$x^{2} + 2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 2

$b = 2$

c = - 1

$c = - 1$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de

d

$d$ usando a fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de

a

$a$ e

b

$b$ na fórmula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de

$e$ usando a fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de

$c$ ,

$b$ e

$a$ na fórmula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique

$4$ por

$1$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Cancele o fator comum de

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - \frac{4}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$e = - 1 - 1$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Subtraia

$1$ de

$- 1$ .

$e = - 2$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de

$a$ ,

$d$ e

$e$ na forma do vértice

${(x + 1)}^{2} - 2$ .

${(x + 1)}^{2} - 2$

Etapa 1.1.2

Defina

$y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x + 1)}^{2} - 2$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 2$

Etapa 1.3

Como o valor de

$a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice

$(h, k)$ .

$(- 1, - 2)$

Etapa 1.5

Encontre

$p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de

$a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar

$p$ com a coordenada y

$k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de

$h$ ,

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, - \frac{7}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 1$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair

$p$ da coordenada y

$k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de

$p$ e

$k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(- 1, - 2)$

Foco:

$(- 1, - \frac{7}{4})$

Eixo de simetria:

$x = - 1$

Diretriz:

$y = - \frac{9}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice:

$(- 1, - 2)$

Foco:

$(- 1, - \frac{7}{4})$

Eixo de simetria:

$x = - 1$

Diretriz:

$y = - \frac{9}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de

$x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de

$y$ . Os valores de

$x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 1$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$f (- 2) = 4 + 2 (- 2) - 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique

$2$ por

$- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 4 - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia

$4$ de

$4$ .

$f (- 2) = 0 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia

$1$ de

$0$ .

$f (- 2) = - 1$

Etapa 2.2.3

A resposta final é

$- 1$ .

$- 1$

Etapa 2.3

O valor

$y$ em

$x = - 2$ é

$- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 2.4

Substitua a variável

$x$ por

$- 3$ na expressão.

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve

$- 3$ à potência de

$2$ .

$f (- 3) = 9 + 2 (- 3) - 1$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique

$2$ por

$- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 6 - 1$

Etapa 2.5.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia

$6$ de

$9$ .

$f (- 3) = 3 - 1$

Etapa 2.5.2.2

Subtraia

$1$ de

$3$ .

$f (- 3) = 2$

Etapa 2.5.3

A resposta final é

$2$ .

$2$

Etapa 2.6

O valor

$y$ em

$x = - 3$ é

$2$ .

$y = 2$

Etapa 2.7

Substitua a variável

$x$ por

$0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 1$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 1$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Some

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia

$1$ de

$0$ .

$f (0) = - 1$

Etapa 2.8.3

A resposta final é

$- 1$ .

$- 1$

Etapa 2.9

O valor

$y$ em

$x = 0$ é

$- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 2.10

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 + 2 (1) - 1$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$f (1) = 1 + 2 - 1$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Some

$1$ e

$2$ .

$f (1) = 3 - 1$

Etapa 2.11.2.2

Subtraia

$1$ de

$3$ .

$f (1) = 2$

Etapa 2.11.3

A resposta final é

$2$ .

$2$

Etapa 2.12

O valor

$y$ em

$x = 1$ é

$2$ .

$y = 2$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice:

$(- 1, - 2)$

Foco:

$(- 1, - \frac{7}{4})$

Eixo de simetria:

$x = - 1$

Diretriz:

$y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array}$

Etapa 4